Ejercicio 5.28. El Número de Oro
Fibonacci (o Leonardo Pisano) fue un matemático que vivió parte de su vida en Pisa (Italia) entre 1170 y 1250. Se decía de él que era un hombre dedicado a resolver cuestiones que no tenían valor práctico. En una oportunidad, se le planteó el siguiente problema:
"En un patio cerrado, se coloca una pareja de conejos para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, y se supone que cada mes a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva. Calcular la cantidad de parejas de conejos al cabo de un año"
La solución fue una sucesión de números que se hizo célebre y se conoce como Sucesión de Fibonacci. En ella, cada término resulta de la suma de los dos anteriores. De este modo será: 1,1,2,3,5,8..... Estos números dan la cantidad de parejas de conejos a medida que pasan los meses.
La curiosidad de saber si era posible reproducir esa situación mediante un modelo dio lugar al presente capítulo, que probablemente no tenga ningún valor práctico. El modelo es extremadamente sencillo y consta de dos flujos, Flujo 1 y Flujo 2, dos niveles, Caja 1 y Caja 2 y dos variables auxiliares, N1 y N2, que permiten cambiar los valores iniciales de Caja 1 y Caja 2. Veamos como se genera la sucesión de Fibonacci.
Un análisis de cómo trabaja el software permite entenderlo. Simplificando la nomenclatura, y haciendo Flujo 1 = F1, Flujo 2 = F2, Caja 1 = C1 y Caja 2 = C2. Del diagrama del modelo podemos ver que F1 = C2 y que F2 = C1. Además, que en cualquier instante t el valor del flujo y del nivel que define ese valor son el mismo, así por ejemplo F1(1)=C2(1) = 2 y F2(1)=C1(1)=1. Pero también debemos recordar que el valor de un nivel determinado en un instante de tiempo determinado resulta de sumar el valor que tenía en el periodote tiempo anterior, más las entradas menos las salidas en el período de tiempo anterior.
Pero avancemos más: si se efectúa el cociente entre cada término y el anterior se obtiene la Proporción Aurea, que converge al Número de Oro, es decir, 1.618034.
Ahora bien: ¿habrá una relación entre esta sucesión que explicaba la dinámica de crecimiento poblacional de un caso teórico sobre conejos?
|
Información
