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Boletín de Dinámica de Sistemas

La sucesión de Fibonacci

Mario Guido Perez
mariogperez@arnet.com.ar

Fibonacci (o Leonardo Pisano) fue un matemático que vivió parte de su vida en Pisa (Italia) entre 1170 y 1250. Se decía de él que era un hombre dedicado a resolver cuestiones que no tenían valor práctico. En una oportunidad, se le planteó el siguiente problema:

"En un patio cerrado, se coloca una pareja de conejos para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, y se supone que cada mes a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva. Calcular la cantidad de parejas de conejos al cabo de un año"

La solución del problema dio lugar a una sucesión de números que se hizo célebre y se conoce como Sucesión de Fibonacci. En ella, cada término resulta de la suma de los dos anteriores. De este modo, partiendo de 1 será: 1,1,2,3,5,8..... Estos números dan la cantidad de parejas de conejos a medida que pasan los meses.

La curiosidad de saber si era posible reproducir esa situación mediante un modelo dio lugar al presente trabajo, que probablemente no tenga ningún valor práctico.

El modelo:

Es extremadamente sencillo y consta de dos flujos, Flux 1 y Flux 2, dos niveles, Caja 1 y Caja 2 y dos variables auxiliares, N1 y N2, que permiten cambiar los valores iniciales de Caja 1 y Caja 2. Sin embargo, no es tan sencillo entender porque en C1 y F2 se genera una sucesión de Fibonacci.

Un análisis de cómo trabaja el software permite entenderlo.

Simplificando la nomenclatura, y haciendo Flux 1 = F1, Flux 2 = F2, Caja 1 = C1 y Caja 2 = C2, y trabajando estas variables como variables con subíndices que hacen referencia al tiempo, tendremos los valores de arranque:

t= 0 F1(0) = 1 C1(0) = 1 F2(0) = 1 C2(0) = 1

Veamos en t = 1 y t= 2

t= 1 F1(1) = 2 C1(1) = 1 F2(1) = 1 C2(1) = 2

t= 2 F1(2) = 3 C1(2) = 2 F2(2) = 2 C2(2) = 3

Del diagrama del modelo podemos ver que F1 = C2 y que F2 = C1. Ademas, que en cualquier instante t el valor del flujo y del nivel que define ese valor son el mismo, así por ejemplo F1(1)=C2(1) = 2 y F2(1)=C1(1)=1. Pero también debemos recordar que el valor de un dado nivel a un dado tiempo resulta de sumar el valor que tenía en el tiempo anterior, mas los ingresos menos los egresos en el tiempo anterior.

Así que para un tiempo cualquiera n tendremos

t=n F1(n) = C2 (n)

C1(n) = C1(n-1) + F1(n-1) - F2(n-1)

F2(n) = C1 (n)

C2(n) = C2(n-1) + F2(n-1)

Sustituyendo F1 y F2 en términos de C1 y C2 y simplificando obtenemos:

(1) C1 ( n) = C2 (n-1)

(2) C2 (n) = C2 (n - 1) + C1 (n -1)

Trabajando sobre la ec (2), resulta que

(3) C2(n-1) = C2 (n-2) + C1(n-2)

Pero C2(n-2) = C1 (n-1) así que reemplazando todo en (1)

C1(n) = C1 (n - 1) + C1 (n - 2)

Que es precisamente lo que hace la sucesión de Fibonacci, es decir, cada nuevo término resulta de la suma de los dos anteriores. Y de ahí que en la Caja 1 (y en realidad en todas las variables) aparece la sucesión.

Pero avancemos más: si se efectúa el cociente entre cada término y el anterior, puede verse que la correspondiente sucesión converge al Número de Oro, cuyo valor es 1.618034.

Ahora bien: ¿será posible resolver el problema planteado a Fibonacci mediante un modelo de dinámica poblaciónal?

La segunda parte del modelo da la solución. Simplemente, si utilizamos el cociente calculado en Número de Oro como tasa de crecimiento vegetativo, obtenemos el mismo resultado que Fibonacci.

Dando valores enteros a N1 y N2 (preferiblemente N1 < N2) , puede experimentarse el comportamiento del modelo.

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